-
KappAbel 2006
Semifinal
Uppgiftsansvarig
Ingvill M. Stedøy
och Svein H. Torkildsen
Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen, Trondheim
Uppgift 1
Klockrektanglar
På
pappret hittar man en klockskiva där de hela timmarna är markerade.
Hur många
rektanglar kan ni rita genom att använda heltalspunkterna som hörn?
(Rektangel= en
fyrhörning med 90 grader i hörnen)
Rita och förklara
på svarspappret..
SVARSPAPPER
UPPGIFT 1
Skola:
___________________________________________
Man kan rita
________ rektanglar.
Detta är alla
därför att:
Uppgift 2
Gustav hade
dekorerat några påskägg som han ville ge bort som gåva:
-
Först fick hans mor hälften av alla ägg han hade gjort plus ett
halvt ägg.
-
Därefter fick hans farfar hälften av de ägg som var kvar plus ett
halvt ägg
-
Därefter fick hans morbror hälften av de ägg som nu var kvar plus
ett halvt ägg.
-
Till slut fick hans syster hälften av de ägg som nu var kvar plus
ett halvt ägg.
-
Då hade Gustav givit bort alla sina ägg.
Hur många ägg fick
varje familjemedlem?
Hur många påskägg hade Gustav dekorerat?
Ni kan använda
talbrickorna för att hålla ordning på ”äggen” när ni ska hitta
lösningen.
SVARSPAPPER UPPGIFT 2
Skola: ___________________________________________
Varje
familjemedlem fick påskägg enligt tabellen:
|
Modern |
|
ägg
|
|
Farfar |
|
ägg
|
|
Morbror |
|
ägg
|
|
Systern |
|
ägg
|
|
Gustav hade
sammanlagt gjort |
|
ägg
|
Förklaring eller uträkning:
Uppgift 3
Talkort
Alla tre talkorten
ovanför är hablonger .
(Hablong är ett
påhittat ord för att tala om att korten ovan har en viss egenskap som
korten under inte har)
Ingen av de tre
talkorten ovanför är hablonger
A
B
C
D
Ett av de fyra
talkorten ovanför är hablong. Vilket är det?
SVARSPAPPER
UPPGIFT 3
Skola:
___________________________________________
Talkortet med
bokstaven ______ är hablong.
Förklaring:
Uppgift 4
Från tal till tal
I kuvertet hittar
ni ett rutat papper med tal i de olika rutorna. Ni ska ta spelbrickan
och flytta från ruta till ruta.
Starta vid pilen
överst till vänster och gå ut vid pilen nederst till höger
Bricka kan bara
röra sig vågrätt eller lodrätt och bara en ruta åt gången.
Man kan bara besöka
en ruta en gång
Medan ni flyttar
spelbrickan skall ni räkna ut hur många poäng brickan samlar in under
färden genom rutnätet.
Det görs på
följande sätt:
-
Första rutan ger så många poäng som talet visar.
-
Andra rutan ger två gånger talet som står där.
-
Tredje rutan ger tre gånger talet som står där .
-
Fjärde rutan ger fyra gånger talet som står där.
-
Och så vidare
Rita
vägen som ni anser ger den högsta poängsumman och räkna ut hur stor den
summan blir.
|
 5
|
-5 |
6 |
-3 |
|
-2 |
10 |
-8 |
7 |
|
9 |
-6 |
4 |
-4 |
|
-1 |
4 |
-5 |
1 |
SVARSPAPPER
UPPGIFT 4
Skola:
___________________________________________
Vägen som ger
högsta poängsumman:
|
 5
|
-5 |
6 |
-3 |
|
-2 |
10 |
-8 |
7 |
|
9 |
-6 |
4 |
-4 |
|
-1 |
4 |
-5 |
 1
|
Poängsummen är: ______________________________
Uträkning:
Uppgift 5
Jung-run Chens påstående
År 1973 påstod
kinesen Jung-run Chen att alla jämna tal kan skrivas som
a
+ b · c där a, b
och c är primtal. Till exempel kan vi skriva
8 = 2 + 2 ·
3
Primtalen under 40
är: 2 – 3 – 5 – 7 – 11 – 13 – 17 – 19 – 23 – 29 – 31 – 37
a.
Undersök Jung-run Chens påstående för tre på måfå valda jämna tal
mellan 10 och 30.
b.
Skriv 38 på så många sätt som möjligt på formen a + b · c
där a, b och c är primtal.
c.
Förklara hur ni kan veta att ni har fått med alla möjligheter för
talet 38.
SVARSPAPPER
UPPGIFT 5
Skola:
___________________________________________
Jung-run Chens påstående:
|
|
a |
+ |
b |
· |
c |
= |
|
|
a |
|
+ |
|
· |
|
= |
|
|
|
|
+ |
|
· |
|
= |
|
|
|
|
+ |
|
· |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
+ |
|
· |
|
= |
|
|
|
|
+ |
|
· |
|
= |
|
|
|
|
+ |
|
· |
|
= |
|
|
|
|
+ |
|
· |
|
= |
|
|
|
|
+ |
|
· |
|
= |
|
|
|
|
+ |
|
· |
|
= |
|
|
|
|
+ |
|
· |
|
= |
|
|
|
|
+ |
|
· |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
Vi menar
att vi funnit alla möjliga sätt att skriva 38 på formen a
+ b · c där a, b och c är primtal därför att: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Uppgift 6
Bollbanan
På ett område som
är avgränsat av tre vägar skall det anläggs en liten bollbana.
Bollbanan ska ha formen av en rektangel
och den skall ligga inuti den rätvinkliga triangeln.
Se figuren bredvid.
Kateterna är 60 m och 80 m. Hypotenusan
är 100 m.
Hur bör man placera bollbanan för att
den ska ha så stor area som möjligt
Rita lösningen på svarspappret.
Beräkna arean av rektangeln.
Förklara hur ni menar att rektangeln ska
paceras för att den ska bli så stor som möjligt.
Arbetspapper Bollbanan
SVARSPAPPER UPPGIFT 6
Skola: ___________________________________________
Rita lösningen
Arean:
Denna arean blir den största därför att:
Uppgift 7
Från hörn till hörn.
Utmaning>:
Den röda brickan skall flyttas till det
tomma fältet.
Självklart måste du flytta även blå
brickor för att skapa väg för den röda brickan
Du kan flytta brickan till den en ledig
grannruta men inte diagonalt.
a.
Vilket är det minsta antal
flyttningar som är möjligt att klara utmaningen på med olika storlekar
på spelplanen? Alla flyttningar räknas oavsett färg på brickan.
i.
2x2 rutor?
ii.
3x3 rutor?
iii.
4x4 rutor?
b.
Ser ni ettt
mönster i uppgift a)? Hur många
flyttningar måste ni göra på en spelplan med storleken 10x10 rutor?
c.
Förklara hur ni tänker?
d.
Spelplan.
Från hörn till hörn:
